Bondi-like 坐标下四维时空的哈密顿分析

我们讨论了在 Bondi-like 坐标 ${v, r, x^a, a=2, 3}$ 下四维时空中引力的哈密顿表述。在 Bondi-like 坐标下，三维超曲面是零超曲面，演化方向是超前时间 $v$。四维时空的内禀对称群 $SO(1,3)$ 被分解为 $SO(1,1)$、$SO(2)$ 和 $T^\pm(2)$，其李代数 $so(1,3)$ 相应地被分解为 $so(1,1)$、$so(2)$ 和 $t^\pm(2)$。在这种分解中 $SO(1,1)$ 对称性非常明显，这在 $so(1,1)$ BF 理论中非常有用。基于 Bondi-like 坐标系中的这种分解，广义相对论可以重新表述为引力的四维余标架 $(e^I_\mu)$ 和连接 $({\omega}^{IJ}_\mu)$ 动力学。余标架由 2 个零 1-形式 $e^-$、$e^+$ 和 2 个类空 1-形式 $e^2$、$e^3$ 组成。使用了 Palatini 作用量。哈密顿分析通过 Dirac 的方法进行。约束的一致性分析已完全完成。存在 2 个标量约束和 1 个二维矢量约束。无挠条件由关于 ${\pi}^\mu_{IJ}$ 的初级约束的一致性条件获得。初级约束 ${\pi}^0_{IJ}=0$ 的一致性条件可以重新表述为高斯约束。已获得拉格朗日乘子的条件。已计算约束之间的泊松括号。共有 46 个约束，包括 6 个第一类约束 ${\pi}^0_{IJ}=0$ 和 40 个第二类约束。局部物理自由度为 2。拉格朗日乘子 $n_0$、$l_0$ 和 $e^A_0$ 的可积性条件为里奇恒等式。还展示了正则变量的运动方程。