Hajłasz梯度是上梯度

设$(X, d, \mu)$是一个度量测度空间，$\mu$是Borel正则测度。本文证明，如果$u\in L^1_{{\mathop\mathrm{\,loc\,}}}(X)$且$g$是$u$的Hajłasz梯度，则存在$\widetilde u$使得$\widetilde u=u$几乎处处成立且$4g$是$\widetilde u$的$p$-弱上梯度。这个结果避免了[Rev. Mat. Iberoamericana 16 (2000), 243-279]中使用的关于$u$拟连续性的先验假设。作为应用，得到了基于Hajłasz梯度的Morrey型函数空间到基于上梯度的相应函数空间的嵌入。我们还引入了局部Hajłasz梯度的概念，并研究了局部Hajłasz梯度与上梯度之间的关系。