随机特征多项式之比的 Haar 期望

我们计算了经典李群 $K = O(N)$、$SO(N)$ 和 $USp(N)$ 上随机特征多项式之比的 Haar 系综平均。为此，我们从 Clifford-Weyl 代数出发，利用其在复向量空间 $V$ 的全纯微分形式复形上的典范实现。由此，我们构造了与 $V$ 相关的正交辛李超代数 $\mathfrak{osp}$ 的 Fock 表示。我们特别关注如何定义 Howe 振子半群及其表示，该表示部分地将 $\mathfrak{sp}$ 的李代数表示指数化为 $\mathfrak{osp}$ 中的表示。在此过程中，通过将半群表示推至其边界并利用连续性论证，我们构建了辛群的 Shale-Weil-Segal 表示。为了处理 $n$ 个特征多项式之比的乘积，我们令 $V = \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^N$，其中 $\mathbb{C}^N$ 装备了其标准的 $K$-表示，并专注于 $K$-等变形式的子空间。根据 Howe 对偶性，这是 $\mathfrak{osp}$ 中 $\mathrm{Lie}(K)$ 的中心化子 $\mathfrak{g}$ 的最高权不可约表示。我们将 $n$ 个比值的 $K$-Haar 期望识别为该 $\mathfrak{g}$-表示的特征标，并证明该特征标由解析性、Weyl 群不变性、特定的权约束以及来自 $\mathfrak{g}$ 的 Laplace-Casimir 不变量的微分方程组唯一确定。我们找到了满足所有这些条件的问题的显式解。以此方式，我们证明了对于所有整数 $N \ge 1$，所述的 Haar 期望可由 Weyl 型特征标公式表达。这完善了 Conrey、Farmer 和 Zirnbauer 此前针对 $U(N)$ 情形的工作。