基于 H3N3-2$_\sigma$ 的分数阶双曲方程差分方法的 $H^1$ 分析

本文推导了 $\alpha\in(1,2)$ 阶 Caputo 分数阶导数的一种新型 H3N3-2$_\sigma$ 插值逼近，改进了具有 $(3-\alpha)$ 阶精度的常用 L2C 公式。通过插值技术，巧妙地估计了截断误差的二阶精度。基于该公式，针对时间分数阶双曲方程的初边值问题，构建了在时间和空间上均具有二阶精度的有限差分格式。众所周知，离散分数阶导数的系数性质是时间分数阶微分模型数值稳定性的基础。我们证明了 H3N3-2$_\sigma$ 逼近公式系数的相关性质。利用这些性质，通过能量方法在 $H^1$-范数意义下直接导出了差分格式的数值稳定性和收敛性。考虑到问题解在起始时刻的正则性较弱，本文还提出了一种基于 H3N3-2$_\sigma$ 公式的非均匀网格上的有限差分格式。数值模拟展示了所导出有限差分格式的有效性，其中采用了快速算法以加速数值计算。