Grusin 算子的热核估计

我们研究与 \mathbb{R}_{x}^{n}\times\mathbb{R}_{u} 上 Grusin 算子 G=\Delta_{x}+|x|^{2}\partial_{u}^{2} 相关的几何，以获得该算子的热核估计。主要工作是寻找连接 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中两个给定点的最短测地线。这给出了与该算子相关的 Carnot-Caratheodory 距离 d_{CC}。第二部分的主要结果是给出关于 Carnot-Caratheodory 距离的热核 K_{t} 的高斯界。特别地，我们获得如下估计 |k_{t}(\zeta,\eta)|\leq C t^{-\frac{n}{2}-1}\min(1+\frac{d_{CC}(\zeta,\eta)} {|x+\xi|},1+\frac{d_{CC}(\zeta,\eta)^{2}}{4t})^{\alpha}e^{-\frac{1}{4t}d_{CC} (\zeta,\eta)^{2}}，适用于所有 $\zeta=(x,u_{1}), \eta=(\xi,u)\in\mathbb{R}^{n+1}$，其中 $\alpha = \max{\frac{n}{2}-1,0}$。此处齐次维数为 q=n+2，因此 $\frac{n}{2}-1=\frac{q-4}{2}$。这表明我们对于 $n\geq2$ 的结果与 Beals、Gaveau 和 Greiner 在 [1] 中给出的 Heisenberg 群上的结果一致。