Syzygy 模的 Hilbert 系数的增长

设 $(A,\mathfrak{m})$ 为维数 $d$ 的完全交环，$I$ 为 $\mathfrak{m}$-准素理想。设 $M$ 为极大 \CM $A$-模。对于 $i = 0,1,\cdots,d$，令 $e_i^I(M)$ 表示 $M$ 关于 $I$ 的第 $i$ 个 Hilbert 系数。我们证明对于 $i = 0, 1, 2$，函数 $j \mapsto e_i^I(Syz_j^A(M))$ 是周期为 $2$ 的拟多项式型。令 $G_I(M)$ 为 $M$ 关于 $I$ 的相伴分级模。若 $G_I(A)$ 为 Cohen-Macaulay 且 $\dim A \leq 2$，我们还证明对于 $i = 0, 1$，函数 $j \mapsto depth \ G_I(Syz^A_{2j+i}(M))$ 最终为常数。令 $\xi_I(M) = \lim_{l \rightarrow \infty} depth \ G_{I^l}(M)$。最后我们证明，若 $\dim A = 2$ 且 $G_I(A)$ 为 Cohen-Macaulay，则对于 $i = 0, 1$，函数 $j \mapsto \xi_I(Syz^A_{2j + i}(M))$ 最终为常数。