面齐次镶嵌的增长

平面的一个镶嵌如果对于某个整数 $k\geq3$ 存在一个由 $\geq3$ 的整数组成的循环序列 $\sigma=[p_0,p_1,\ldots,p_{k-1}]$ 使得对于镶嵌的每个面 $f$，与 $f$ 关联的顶点的价按顺时针或逆时针顺序由 $\sigma$ 的项给出，则该镶嵌是面齐次的。当给定循环序列 $\sigma$ 以这种方式可现实时，它可能确定唯一的镶嵌（在同构意义下），此时 $\sigma$ 称为单态的，或者它可能是两个或更多非同构镶嵌（多态的）的价序列。在欧几里得平面中面一致有界的镶嵌称为欧几里得镶嵌；在双曲平面中非欧几里得且面一致有界的镶嵌称为双曲镶嵌。众所周知双曲镶嵌具有指数增长。我们寻找增长最慢的面齐次双曲镶嵌，并证明单态面齐次镶嵌的最小增长率是“黄金分割比” $\gamma=(1+\sqrt{5})/2$，由序列 $[4,6,14]$ 和 $[3,4,7,4]$ 实现。多态序列可能产生具有不同增长率的非同构镶嵌。然而，迄今为止发现的所有此类镶嵌的增长率均大于 $\gamma$。