平面正则镶嵌中按代划分的顶点普查

我们将平面正则镶嵌视为无限图，其中每个顶点有$q$条边和$q$个面相交，每个面由$p$条边和$p$个顶点环绕。对于$1/p + 1/q = 1/2$，这些是欧几里得平面的铺砌；对于$1/p + 1/q < 1/2$，它们是双曲平面的铺砌。我们选择一个顶点作为原点，并根据顶点到原点的距离（以最短路径中的边数衡量）将顶点按代分类。对于所有满足$p\ge 3$、$q \ge 3$且$1/p + 1/q \le 1/2$的情况，我们确定了给出每一代顶点数量的有理生成函数。