仿射 Grassmannian 中的增长图与极小多边形构型

我们定义了由标记阶梯形网格顶点的 $GL_m$ 主支配权重组成的仿射增长图。在分区的情形下，这也称为 Speyer 和 White 所定义的柱面增长图。标记每对相邻顶点的权重相差一个垂直条，且每个单位方格周围的权重满足一个局部条件，该条件曾出现在 van Leeuwen 关于晶体 Littelmann 路径模型的工作中。我们证明了两个主要结果。对于极小权重序列 $\vec\lambda=(\lambda^1,\ldots,\lambda^n)$，令 Poly$(\vec\lambda)$ 表示仿射 Grassmannian 中 $n$ 元组点 $(g_1,\ldots,g_n)$ 的构型空间，使得权重值距离满足 $d(g_i,g_{i+1})=\lambda^i$。这是出现在几何 Satake 对应中的卷积簇。我们证明，对于某个分量的一个一般点 $(g_1,\ldots,g_n)$，距离 $d(g_i,g_j)$ 构成一个仿射增长图，并且这给出了 Poly$(\vec\lambda)$ 的分量与 $\vec\lambda$ 型仿射增长图之间的一个双射。证明中使用的主要工具是 Knutson--Tao 蜂巢。在第二部分中，我们通过将 Greene 定理应用于阶梯的某些子矩形，给出了一种由自然数项构造仿射增长图的纯组合构造。由此构造可知，仿射增长图包含经典的 Fomin 增长图，并在 $\vec\lambda=(\omega_1,\ldots,\omega_1,\omega_1^*,\ldots,\omega_1^*)$ 时实现了 RS 对应。