格罗弗量子搜索算法与丢番图逼近

在一篇基础论文[Phys. Rev. Lett. 78, 325 (1997)]中，Grover 展示了量子计算机如何仅通过使用 O(N^{1/2}) 次识别该对象的预言机查询，就能在大小为 N 的数据库中找到单个标记对象。他的结果被推广到在标记元素子集中寻找一个对象的情况。我们考虑如下计算问题：给定一个标记元素子集，其元素个数要么为 M 要么为 K，且 M<K，我们的任务是确定究竟是哪种情况。我们展示了如何仅使用 Grover 基本步骤的迭代（不使用其他算法）以高成功概率解决此问题。设 m 为所需迭代次数；我们证明了在 M 和 K 大小的某些限制下，估计 m < (2N^{1/2})/(K^{1/2}-M^{1/2}) 成立。该界限 sharpen 了先前的结果，且已知在常数因子内是最优的。我们的方法涉及同时丢番图逼近，从而将 Grover 算法概念化为环面上遍历自同构的轨道。我们评论了算法可能变慢的情形，并指出这些情形与经典力学中小除数问题的相似性。