超几何类方程与函数对称性的群论起源

我们表明，若从适当的常系数二阶微分方程导出超几何类方程与函数的性质，则这些性质将变得清晰。更确切地说，超几何方程与 Gegenbauer 方程的性质可分别由 4 维与 3 维 Laplace 方程的广义对称性导出。合流方程与 Hermite 方程的性质可分别由 2 维与 1 维热方程的广义对称性导出。最后，${}_1F_1$ 方程（等价于 Bessel 方程）的理论由 2 维 Helmholtz 方程的对称性得出。当在 6 维或 5 维环境空间层面考察时，所有这些对称性都变得非常简单。关键作用是这些二阶 PDE 的广义对称性的 Lie 代数、其 Cartan 代数、根集与 Weyl 群。标准超几何类函数是这些 PDE 的对角化 Cartan 代数的特解。这些函数的递推关系对应于根。它们的离散对称性对应于 Weyl 群的元素。