群平均马尔可夫链 II：有限状态空间中群作用的调节

我们研究通过轨道核将群作用在状态空间上作用于 $\pi$-平稳转移核 $P$ 所得到的群平均马尔可夫链。给定一个具有轨道 $(\mathcal{O}_i)_{i=1}^k$ 的群 $\mathcal{G}$，我们分析了三种典型的轨道核：即 Gibbs $(G)$、Metropolis-Hastings $(M)$ 和 Barker $(B)$ 核，以及它们的乘积夹心 $QPQ$ 和加性混合 $\frac{1}{2}(P+Q)$，其中 $Q\in\{G,M,B\}$。我们证明了在适当条件下，当 $t \to \infty$ 时 $M^t, B^t \to G$ 逐块成立，由 $(\mathcal{O}_i)_{i=1}^k$ 诱导的投影链对于 $GPG$ 和 $P$ 是重合的，并且当 $P$ 可逆时，轨道平均绝不会使绝对谱隙或渐近方差恶化。我们给出了 Kullback-Leibler (KL) 散度下毕达哥拉斯恒等式的直接且简单的证明，表明 $GPG$ 自然地作为 $P$ 到 $G$-不变转移矩阵集合的信息投影而产生。对于给定的 $P$，我们刻画了具有固定轨道数且能最小化到平稳态的单步 KL 散度的 $G$ 的最优选择。类似地，对于给定的 $G$，我们刻画了 $P$ 的最优选择，并给出了 $GPG = \Pi$ 的充分条件。我们进一步证明了在多个群作用上的交替投影以由重叠矩阵的奇异值控制的速率收敛，并且在结构化情况下，这产生了精确采样，其中群作用的数量随状态空间的大小按对数增长。基于该理论，我们提出了两种在实践中调节 $G$ 的启发式方法。我们还在离散均匀和多峰示例上说明了结果，包括 Curie-Weiss 模型，其中 $GPG$ 实现了关于（逆温度和维度的）多项式级混合，而 Glauber 动力学仍然呈指数级缓慢。