旋转集边界上的基态与零温测度

我们考虑紧度量空间 $X$ 上的连续动力系统 $f:X\to X$，其配备 $m$ 维连续势 $\Phi=(\phi_1,\cdots,\phi_m):X\to \bR^m$。我们研究势 $\alpha\cdot \Phi$ 的基态集合 $GS(\alpha)$ 作为方向向量 $\alpha\in S^{m-1}$ 的函数。我们证明基态集合的结构与 $\Phi$ 的广义旋转集的几何自然相关。特别地，对每个 $\alpha$，$GS(\alpha)$ 的旋转向量集形成与 $\alpha$ 相关的旋转集的一个面 $F_\alpha(\Phi)$ 的非空、紧且连通的子集。此外，每个基态在所有具有位于 $F_\alpha(\Phi)$ 中的旋转向量的不变测度中最大化熵。我们进一步建立了几个相当意外现象的出现。即，对任意 $m\in\bN$，我们构造了具有暴露边界点（即 $F_\alpha(\Phi)$ 为单点集）但无唯一基态的例子。此外，我们确立了具有唯一但非遍历基态的线段面 $F_\alpha(\Phi)$ 的可能性。最后，我们确立了 $GS(\alpha)$ 的旋转向量集为非平凡线段的可能性。