图与链环

在本章（第五章）中，我们给出若干结果，展示了图论与纽结理论之间紧密的联系与有益的思想交流。从 Tait（若不是 Listing）时代起这些学科就被表明相关，但大量思想流动直到 Jones 发现之后才开启。这一新趋势中的第一个深刻关联由 Morwen Thistlethwaite 展示，我们在本章描述他的若干结果。我们也给出两份（未发表的）预印本 [P-P-0,P-18] 中的结果。特别地，在第二节中，我们概述图 Tutte 多项式的两个推广，或更确切地说，Tutte 多项式所使用的删除-收缩方法。第一个推广考虑图以外的称为 setoids 或群系统的广义对象。第二个处理图关于子图的展开的补全。我们在此受 Vassiliev 和 Gusarov 发展的链环有限型不变量所推动，沿 [P-9] 中呈现的思路（比较第九章）。第二节描述的双色 Hopf 代数源于 Vassiliev-Gusarov 理论 mixed with G. Carlo-Rota 和 W. Schmitt 的工作。在第三节我们描述关于交错链环图的 Tait 猜想，并应用已发展方法研究充分 diagrams。在第四节我们将双变量 Kauffman 多项式应用于交错链环，并特别地证明了第二个 Tait 猜想。在第五节我们分析充分 diagrams 的 Kauffman 多项式。在第六节我们展示 Homflypt 多项式的系数如何被用来获取关于经典纽结不变量（例如 Morton-Franks-Williams 不等式）的新信息。在第五章最后一节我们讨论几乎正链环，我们的方法使用了 K. Taniyama 的纽结排序思想。