图论粒子系统，第一部分：时空近似与大数定律
系统与控制
2025-10-02 v4 系统与控制
概率论
摘要
我们研究了一类具有时变随机系数的图论粒子系统。在图论粒子系统中，粒子之间的相互作用通过耦合平均场项由底层图论表征，系数的随机性来自外生随机过程。通过构造在2-Wasserstein距离下收敛的两级近似序列，我们证明了系统解的存在唯一性。此外，通过构造收敛到图论平均场项的两级近似函数，我们建立了大数定律，该定律揭示了如果粒子数趋于无穷且离散化步长趋于零，则大规模网络上的离散时间相互作用粒子系统收敛到图论粒子系统。作为副产品，我们发现图论粒子系统可以描述大规模网络上分布式随机梯度下降算法的极限动力学，并证明如果局部代价函数的梯度是Lipschitz连续的，则当网络节点数趋于无穷且算法步长趋于零时，图论粒子系统可以被视为离散时间分布式随机梯度下降算法的时空近似。
引用
@article{arxiv.2405.16760,
title = {Graphon Particle Systems, Part I: Spatio-Temporal Approximation and Law of Large Numbers},
author = {Yan Chen and Tao Li and Xiaofeng Zong},
journal= {arXiv preprint arXiv:2405.16760},
year = {2025}
}