图傅里叶变换：一种稳定近似方法

在图信号处理(GSP)中，数据依赖关系由图表示，其节点标记数据，边捕获节点间的依赖关系。该图由加权邻接矩阵 $A$ 表示，在 GSP 中它推广了离散信号处理(DSP)的移位算子 $z^{-1}$。移位 $A$ 的(右)特征向量使 $A$ 对角化，并导出图傅里叶基 $F$，该基提供图信号的图谱表示。图傅里叶基 $F$ 的(矩阵)逆即为图傅里叶变换(GFT)，$F^{-1}$。通常，包括在真实世界示例中，这种对角化在数值上是不稳定的。本文提出一种方法，通过求解非凸优化问题，在计算 $F$ 和 $F^{-1}$ 的精确近似的同时保证其数值稳定性。为处理非凸性，我们提出一种算法，即可 stable graph Fourier basis algorithm (SGFA，稳定图傅里叶基算法)，并证明该算法每迭代一次能以指数方式提高近似 $F$ 的精度。类似地，我们可以将 SGFA 应用于 $A^H$，从而近似图移位 $A$ 的稳定左特征向量并直接计算 GFT。我们通过将 SGFA 应用于取自两个真实世界问题的图移位 $A$——2004 年美国政治博客图和曼哈顿道路图——来实证评估 SGFA 的质量，并对不同 SGFA 参数之间的权衡进行全面研究。我们还通过在非常稀疏和非常稠密的定向 Erdős-Rényi 图上应用 SGFA 来确认结论。