通过离散位错均匀化推导塑性的梯度理论

在本文中，我们从离散位错模型推导出塑性的宏观应变梯度理论。我们将分析限制在所研究晶体的柱对称情形下，因此数学表述将涉及一个二维变分问题。位错被引入为应变场的点状拓扑缺陷，我们计算了存储在所谓芯区之外的弹性能。我们证明，当芯半径趋于零且位错数目趋于无穷时，该能量（经过适当重标度）的 Gamma-极限具有以下形式：$$E= \int_{\Om} (W(\beta^e) + \f (\Curl \beta^e)) dx,$$ 其中 $\beta^e$ 代表宏观应变的弹性部分，$\Curl \beta^e$ 代表几何必要位错密度。塑性能量密度 $\f$ 通过一个渐近胞元公式显式定义，仅依赖于弹性张量和可容许伯格斯矢量的类别，从而考虑了晶体结构。该能量密度是正一次齐次的，因此允许在线上集中，这解释了在晶体中观察到的图案形成（如位错墙）的存在。