四维中Brezis-Coron式的瞬子粘合与偶极子构造

给定一个在$\mathbb{R}^4$上的$SU(2)$-丛$P$上的联络$A$，具有有限杨-米尔斯能量$YM(A)$且在原点处非零曲率$F_A(0)$，给定足够小的$\rho>0$，我们构造了一个新联络$\hat A$，位于不同陈类的丛$\hat P$上（$|c_2(A)-c_2(\hat A)|=8\pi^2$），使得$\hat A$在$\mathbb{R}^4\setminus B_\rho(0)$中与$A$规范等价，在更小球$B_{\tau \rho}(0)$中与一个瞬子规范等价，并且$$YM(\hat A)\le YM(A)+8\pi^2-\varepsilon_0\rho^4|F_A(0)|^2,$$其中$\tau\in (0.3,0.4)$和$\varepsilon_0>0$是与$A$和$\rho$无关的普适常数。我们的粘合方法在精神上类似于Brezis-Coron用于调和映射的方法。我们将其与Taubes的经典结果进行比较，并讨论应用和开放问题。