关于 $SU(2)$ 信道估计的 Gill 和 Massar 类型下界

在Hilbert空间 $\mathcal{H}$ 上的参数化量子态估计中，Gill和Massar下界已知是加权协方差矩阵的无偏估计量的下界。Gill和Massar下界通过考虑经典Fisher信息矩阵集合的凸性来推导，当 $\mathcal{H}=\mathbb{C}^{2}$ 时，该下界可通过随机化策略实现。在本文中，我们指出，针对参数化 $SU(2)$ 单位信道模型的估计具有与qubit状态模型类似的凸结构，可以为任意权重矩阵推导Gill和Massar类型无偏估计量协方差加权迹的下界。我们指出，当满足某些条件时，Gill和Massar类型下界可通过随机化策略实现。为了推导经典Fisher信息矩阵集合的凸结构，我们引入了用于 $SU(2)$ 单位信道模型的Fisher信息矩阵 $J^{(U)}$，并证明了对其逆 $J^{(U)}$ 加权经典Fisher信息矩阵加权迹的上界。本文中构造的最优随机化策略在许多情况下无需辅助系统。