遍历商几何揭示流中的相干结构

表现出多样化行为的动力系统很少能通过单一方法被完全理解。然而，通过识别其状态空间中的相干结构，即具有均匀且更简单行为的区域，我们有望分别研究每个结构，进而形成对整个系统的理解。本文提出的方法利用状态空间上标量函数的轨迹平均值来：(a) 识别状态空间中的不变集，(b) 通过聚合在多个空间尺度上相似的不变集来形成相干结构。首先，我们构建遍历商，即将轨迹映射到状态空间上函数基的轨迹平均值空间所得到的对象。其次，我们赋予遍历商一种度量结构，以成功捕捉状态空间中不变集的相似程度。最后，我们利用其上的内禀扩散模态对遍历商进行参数化。通过基于扩散模态分割遍历商，我们提取了动力系统状态空间中的相干特征。该算法通过分析 Arnold-Beltrami-Childress 流进行了验证，该流曾是替代方法（转移算子的 Ulam 近似和拉格朗日相干结构的计算）的测试平台。此外，我们解释了该方法如何扩展了周期流的 Poincaré 映射分析。作为演示，我们将该方法应用于周期驱动的三维 Hill 涡流，发现了其状态空间中未知的相干结构。最后，我们讨论了遍历商与替代方法之间的差异，提出了对（准）周期结构分析的推广，并规划了未来的研究方向。