受限量子粒子通过其引力对偶导致的二维曲面几何动力学：$\mathbf{\mathcal{S}^2}$ 解析模型计算

我们对 da Costa 关于量子力学受限量子的计算进行了独特且新颖的扩展。这是通过分析量子受限量子粒子的本征态和能谱对曲面本身几何形状的微扰反作用来实现的，从而解决了该模型中的形状优化问题。我们首先构建了量子受限量子粒子的二维作用量原理，通过对波函数变分，重现了包含 da Costa 表面曲率诱导势的薛定谔方程。我们进一步证明，我们推导出的作用量原理对偶于二维膨胀引力理论，并通过对其嵌入的二维逆度规进行变分，获得了相应的几何动力学爱因斯坦方程。我们通过首先求解 da Costa 薛定谔方程获得初始本征系统，将其作为初始输入数据代入推导出的爱因斯坦方程中的微扰度规，从而微扰地求解了该爱因斯坦方程。作为概念验证，我们在二维球面上进行了此计算，并展示了其第一次迭代微扰形状演化。我们还开启了外部电磁场，并制定了完整的场论场方程以供未来研究。外部场在我们二维对偶引力理论中表现为表面诱导的回拉 $U(1)$ 耦合，从而揭示了该特定范式下有趣且丰富的新表面物理。