图的几何化：通过高维嵌入界定色数

我们通过将图 $G$ 转化为 $(d-1)$ 维 CW 复形 $U^{d-1}(G)$ 建立了一个几何框架。该构造是通过根据特定规则将 $i$ 维球面（$2 \le i \le d-1$）系统地附加到 $G$ 上实现的，确保 $U^{d-1}(G)$ 的第 $j$ 个同伦群对于 $j = 0, 1, \dots, d-2$ 是平凡的。在此构造的基础上，我们给出了 $U^{d-1}(G)$ 可嵌入 $\mathbb{R}^d$ 的充分必要条件，这给出了色数 $\chi(G)$ 的一个上界。更具体地说，我们证明如果 $G$ 不包含 $K_{d+3}$ 和 $K_{i, d+4-i}$（$i \in \{2, 3, \dots, \lfloor \frac{d+4}{2} \rfloor \}$）作为子式，则 $U^{d-1}(G)$ 可嵌入 $\mathbb{R}^d$ 且 $\chi(G) \leq 3\cdot 2^{d-1}$。最后，作为初步尝试，我们将 Discharging 方法扩展到 $\mathbb{R}^d$ 并研究了 $\mathbb{R}^d$ 中 $(d-2)$ 维面的着色问题。