源于平均场方程 bubbling 分析的几何量

设 $E = \Bbb C/\Lambda$ 为平坦环面，$G$ 为其在 $0$ 处有奇点的 Green 函数。考虑 $E^n$ 上的多重 Green 函数 $G_n$：$$G_{n}(z_1,\cdots,z_n) := \sum_{i < j} G(z_{i} - z_{j}) - n \sum_{i = 1} ^{n} G(z_{i}).$$ 如果 $\{a_1, \cdots, a_n\} = \{-a_1, \cdots, -a_n\}$，则称 $G_n$ 的临界点 $a = (a_1, \cdots, a_n)$ 为平凡的。对于这样的点 $a$，引入了源于平均场方程 bubbling 分析的两个几何量 $D(a)$ 和 $H(a)$。$D(a)$ 是衡量渐近展开的全局量，$H(a)$ 是 $G_n$ 在 $a$ 处的 Hessian 矩阵。通过我们在先前论文 (Cambridge J. Math 3, 2015) 中发展的 Lam\'e 曲线几何方法，我们导出了关联这两个量的精确公式。