黄金比例 Thompson 群的几何性质

我们证明了所有三个黄金比例 Thompson 群 $F_\tau$、$T_\tau$ 和 $V_\tau$ 都嵌入到异步有理群中。我们证明了单半群 $M = \langle L, R : LR^2 = RL^2 \rangle$ 的 Cayley 图的性质，其拓扑全群为 $V_\tau$。特别是，我们计算了单半群 $M$ 的 Cayley 图的距离函数。此外，我们证明了该 Cayley 图在 Gromov 的意义上是双曲的。我们的分析揭示了该图的 horofunction boundary 与类似 Cantor 集的空间保持同胚，此外在每个断点之间还有一个额外的孤立点。