自由群中的通用 IRS：继 Bowen 之后

设 $E$ 为标准 Borel 概率空间 $(X,B,\mu)$ 上具有可数等价类的保测等价关系。设 $([E],d_{u})$ 为赋予一致度量的（Polish）全群。若 $F_r = \langle s_1, \ldots, s_r \rangle$ 为 $r$ 个生成元的自由群，且 $\alpha \in \operatorname{Hom}(F_r,[E])$，则 $\mu$-随机点 $x$ 的稳定子 $\alpha(F_r)_x$ 是 $F_r$ 的一个随机子群，其分布在共轭下不变。此类对象被称为“不变随机子群”，简称 IRS。Bowen 提出的 $F_r$ 中 IRS 的通用模型是通过取 $\alpha$ 为 Polish 空间 $\operatorname{Hom}(F_r, [E])$ 中的 Baire 通用元得到的。“稀疏非周期模型”是一个类似模型，其中通过强制 $\alpha(s_1)$ 为非周期来迫使 $\alpha(F_r)$ 具有无限轨道。在此设定下，我们证明对于 $r < \infty$，当且仅当 $E = E_0$ 为超有限等价关系时，通用 IRS $\alpha(F_r)_x$ 几乎必然（a.s.）在 $F_r$ 中具有有限指数。对于任意遍历等价关系，我们证明来自稀疏非周期模型的通用 IRS 是余可均且核自由的。最后，我们考虑 $\alpha(F_r)$ 在几乎每条轨道上高度传递的情形，特别是相应的 IRS 支撑在极大子群上。利用 Le-Ma\^{i}tre 的结果，我们证明对于任何具有有限代价的非周期遍历 $E$，此类例子均存在。对于超有限等价关系 $E_0$，我们证明在稀疏非周期模型中高度传递性是通用的。