关联平均的生成

本文论述了所谓除数函数 $d_3$ 的修正 Selberg 积分（即经典 Selberg 积分的离散版本）的猜想界限可能带来的后果，其中 $d_3(n)=\sum_{abc=n}1$ 在短区间 $|n-x|\le H$ 中附有权重 $1-|n-x|/H$ 的 Cesaro 权重。主要的一个直接后果是给出了 $d_3$ 的 Selberg 积分的一个非平凡界限，改进了 Ivić基于临界线上 Riemann zeta 函数矩的标准方法所得的近期结果。我们转而采用初等论证，首先应用“初等色散法”以建立任意算术函数 $f$ 的“加权 Selberg 积分”与短区间内 $f$ 的关联平均之间的联系。此外，我们将结果条件性地推广到任意 $k\ge 3$ 的除数函数 $d_k$ 的类似问题。进一步，讨论了关于 Riemann zeta 函数 $2k-$ 阶矩的一些显著后果。最后，我们还讨论了一般函数 $f$ 应满足的基本性质，以便其 Selberg 积分的估计可通过我们的方法进行。