图上概率测度的广义Sobolev传输

我们研究支撑在图度量空间上的测度的最优传输（optimal transport, OT）问题。最近，Le等人（2022）利用图结构提出了OT的一个变体，即Sobolev传输（Sobolev transport, ST），其产生了一个用于快速计算的闭式表达式。然而，ST在其定义中本质上与 $L^p$ 几何结构耦合，这使得将ST用于其他先验结构并非易事。相比之下，经典的OT具有通过修改底层成本函数来适应各种几何结构的灵活性。一个重要的实例是Orlicz-Wasserstein（OW），它通过利用Orlicz几何结构超越了 $L^p$ 结构。与使用标准 $p$ 阶Wasserstein相比，OW显著有助于推进某些机器学习方法。尽管如此，由于其双层优化公式，OW在计算上带来了新的挑战。在这项工作中，我们利用一类特定的凸函数作为Orlicz结构，提出了广义Sobolev传输（generalized Sobolev transport, GST）。GST将ST作为其特例包含在内，并可用于 $L^p$ 几何之外的先验结构。与OW相联系，我们证明了计算GST只需简单地求解一个单变量优化问题，而不像OW中复杂的双层优化问题。我们通过实验说明，GST比OW快几个数量级。此外，我们提供了GST在文档分类和拓扑数据分析中若干任务上优势的初步证据。