玻璃转变的广义模式耦合理论. II. 解析标度律

广义模式耦合理论（GMCT）构成了一种可系统修正的、基于第一性原理的理论，用于研究过冷液体与玻璃转变的动力学。它是一个层级框架，通过纳入越来越多的粒子密度关联，可以弥补理想模式耦合理论（MCT）的一些固有局限。然而，尽管 MCT 存在局限，该理想理论也取得了若干显著成功，尤其包括关于 $\alpha$- 和 $\beta$-弛豫动力学的解析标度律。在此，我们数学推导了由 GMCT 在任意平均场闭合层级下获得的任意阶多点密度关联函数的类似标度律。更具体地，我们解析推导了多点密度关联函数长时极限的渐近与前渐近解、具有两个幂律衰减的临界动力学、$\beta$-弛豫区间中的因式分解标度律，以及 $\alpha$-弛豫区间中的时间-密度叠加原理。两步衰减的两个特征性幂律发散弛豫时间及其指数间的非平凡关系也得到了。通过考虑前渐近主导修正，还给出了主导阶标度律的有效范围。此外，我们在 Percus-Yevick 硬球系统上检验了这些解。我们证明 GMCT 保留了 MCT 所有著名的标度律，同时在定量上改进了指数，使该理论成为玻璃动力学最终定量第一性原理理论的有力候选。