广义 Liénard 系统与等时连接

本文探讨了非线性 Liénard 方程 $\ddot{x} + k x \dot{x} + \omega^2 x + (k^2/9) x^3 = 0$ 的经典和量子方面，其中 $x=x(t)$ 为实变量，$k, \omega \in \mathbb{R}$。我们展示，这种方程可从类 Levinson-Smith 形式的方程推导而来，其形式为 $\ddot{z} + J(z) \dot{z}^2 + F(z) \dot{z} + G(z) = 0$，其中 $z=z(t)$ 为实变量，${J(z), F(z), G(z)}$ 为待指定的合适函数。进一步可通过非局部变换映射到谐振子，从而建立其等时性。运用 Jacobi 最后乘子计算，揭示该系统具有双哈基顿特性，即存在两种不同类型的哈基顿量描述该系统。对于每一种，我们在动量表示下进行标准量子化，探讨束缚态的可能性。其中一种哈基顿量表现出等距谱，拥有无限塔状态；另一种则表现为分支，但可在特定参数选择下以闭式解形式求解。