正弦螺旋与广义仿射曲线关系的推广及其开普勒动力学

本文建立了正弦螺旋 $r^n=\cos(n\theta)$ 的弧长与由 $x^{2n}+y^{2n}=1$ 定义的广义拉姆曲线面积之间的广义关系。基于我们先前将仿射曲线与正方形曲线建立联系的工作，我们证明了对于任意正整数 $n$，这两条曲线之间存在积分恒等式，并进一步推广到任意正实数指数和一般的超椭圆。我们进一步将这种对应关系扩展到拉姆曲线的径向扇区与螺旋弧长之间的几何关系，提供了一种物理解释：沿拉姆曲线的开普勒运动对应螺旋上的均匀运动。此外，我们推导了沿拉姆曲线进行开普勒运动的显式中心力律。最后，我们引入 policles——一种推广正方形曲线的新曲线类，并演示了其扇区与正弦螺旋弧长之间存在直接的几何映射。