关于圆形图形与螺旋线之间著名关系的初等证明

众所周知，四次 fermat 曲线 $x^4+y^4=1$（即圆形图形）的面积与螺旋线 $(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$ 的弧长之间存在一种某种神秘的关系。该事实的标准证明使用椭圆积分与伽玛函数之间的关系。在本文中，我们推广了这一结果，将圆形图形的扇区面积与螺旋线的线段弧长关联起来。我们给出这种关系的几何解释，并提供一种仅使用基本积分计算的初等证明。我们还讨论了这种类关系的另一种版本，这在西格尔的计算中隐含其中。