Sch"{o}bi 四面体剖分的推广

设 $v_1, ..., v_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的单位向量，使得对于 $i \neq j$ 有 $v_i \cdot v_j = -w$，其中 $-1 < w < 1/(n-1)$。点 $\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i$（其中 $1 \ge \lambda_1 \ge ... \ge \lambda_n \ge 0$）构成“第一类 Hill 单形”，记为 $Q_n(w)$。Hadwiger 于 1951 年证明了 $Q_n(w)$ 与立方体等剖分。Sch"{o}bi 于 1985 年给出了 $Q_3(w)$ 到三角棱柱 $c Q_2(1/2) \times I$ 的三块剖分，其中 $I$ 表示区间，$c = \sqrt{2(w+1)/3}$。本文将 Sch"{o}bi 的剖分推广为 $Q_n(w)$ 到棱柱 $c Q_{n-1}(1/(n-1)) \times I$ 的 $n$ 块剖分，其中 $c = \sqrt{(n-1)(w+1)/n}$。迭代此过程可导致使用最多 $n!$ 块将 $Q_n(w)$ 剖分为 $n$ 维长方体（或“砖块”）。计算从 $Q_n(w)$ 到砖块的映射的复杂度为 $O(n^2)$。我们给出了 Sch"{o}bi 剖分的第二种推广，该推广专门适用于 $\mathbb{R}^4$。这些结果在信源编码和恒重二进制码中具有应用。