子划分算法构造的新方法
摘要
在本论文中，提出了一种用于广义二次和三次 B-spline 子划分算法（用于子划分曲面和体积）的新方法。首先，构建了这些子划分算法的质量准则目录，作为构建过程的指南。随后，通过圆堆积生成所需的次主特征向量作为体积的规则凸 3-多边形顶点。然后，这些多边形用于构造广义二次 B-spline 子划分的 Colin-de-Verdiere 矩阵，以及广义三次 B-spline 子划分的 Colin-de-Verdiere 类矩阵。随后，通过矩阵指数调整这些矩阵，以获得具有所需属性的子划分矩阵。本文中引入的所有子划分算法经验性地都具有次主特征值为 1/2 的性质，满足所需的代数和几何重数。对于二次情况，此性质甚至可以形式地证明。此外，对应的特征向量在广义二次 B-spline 子划分算法中形成中心区域的凸多边形，而对于广义三次 B-spline 子划分算法，则表示凸多边形的细化。此外，所构造的子划分算法满足各种其他质量准则，如仿射不变性、凸包保持以及遵循所有对称性。 Furthermore, it is demonstrated that the original Catmull-Clark algorithm is not suitable for generalization to volumetric subdivision and that the established subdivision algorithms [Baj+02] and [JM99] do not exhibit a suitable spectrum for several combinatorial configurations. Additionally, research approaches for the volumetric case are proposed, aiming to generalize from hexahedral to arbitrary structures.
引用
@article{arxiv.2507.20897,
title = {A New Approach to the Construction of Subdivision Algorithms},
author = {Alexander Dietz},
journal= {arXiv preprint arXiv:2507.20897},
year = {2025}
}
备注
English translation of the German dissertation. pages: VIII, 314. 510 single figures. Alexander Dietz: A New Approach to the Construction of Subdivision Algorithms. TUprints. Darmstadt. 2025