Collatz 型序列的一般动力学与生成映射

设奇数 $\mathcal{X}$ 表示为 $\left\{\sum\limits_{M > m}b_M2^M\right\}+2^m-1$，其中 $b_M\in\{0,1\}$，$2^m-1$ 被称为 Governor。在 Collatz 型函数中，高索引 Governor 最终会被归约为 $2^1-1$。对于 $3\mathcal{Z}+1$ 序列，出现在平凡环中的 Governor 是 $2^1-1$；而对于 $5\mathcal{Z}+1$ 序列，平凡 Governor 是 $2^2-1$ 和 $2^1-1$。因此，在这些特定序列中，Collatz 函数将 Governor $2^m - 1$ 归约为平凡 Governor $2^{\mathcal{T}} - 1$。一旦达到该平凡 Governor，它就可以通过与其他项的相互作用演化到更高索引的 Governor。此特性使得 $\mathcal{X}$ 能够在 Collatz 型序列中重现，因为 $2^m - 1 = 2^{m - 1} + \cdots + 2^{\mathcal{T} + 1} + 2^{\mathcal{T}}+(2^{\mathcal{T}}-1)$。因此，如果 $\mathcal{X}$ 重现，$\left\{\sum\limits_{M > m}b_M2^M\right\}+2^{m-1}+\cdots+2^{\mathcal{T}+1}+2^{\mathcal{T}}+(2^{\mathcal{T}}-1)$ 的至少一个奇数祖先必定具有 Governor $2^m-1$。祖先映射表明，$\mathcal{X}$ 的所有奇数祖先都具有相应 Collatz 序列的平凡 Governor。这意味着在 $3\mathcal{Z} + 1$ 序列中重复出现的奇数具有 Governor $2^1 - 1$，而在 $5\mathcal{Z} + 1$ 序列中形成重复环的奇数具有 $2^2 - 1$ 或 $2^1 - 1$ 作为 Governor。$3\mathcal{Z} + 1$ 序列的后继映射进一步表明不存在辅助环，因为平凡 Governor 总是被转换为不同索引的 Governor。类似地，$5\mathcal{Z} + 1$ 序列的后继映射揭示了形成辅助环的最小奇数小于 $2^5$。最后，试图为 $3\mathcal{Z} + 1$ 序列识别发散整数的尝试表明，不存在这样的整数。