有限秩扰动的广义 Clark 模型

给定酉算子 $U$ 的所有具有固定值域的有限秩 $d$ 算子酉扰动均可由 $(d\times d)$ 酉矩阵 $\Gamma$ 参数化；这推广了酉秩一 ($d=1$) 扰动，其中 Aleksandrov--Clark 酉扰动族由单位圆周 $\mathbb{T}\subset\mathbb{C}$ 上的标量参数化。对于纯压缩的 $\Gamma$，所得的扰动算子 $T_\Gamma$ 是一个压缩算子（在关于值域循环性的自然假设下为完全非酉压缩），因此它们容许函数模型。本文研究 Clark 算子，即一个将 $T_\Gamma$（在未扰动算子 $U$ 的谱表示中给出）与其模型交织的酉算子。我们对酉算子 $U$ 的谱类型不作任何假设；绝对连续谱可能存在。我们在无坐标的 Nikolski--Vasyunin 函数模型中找到了伴随 Clark 算子的表示。该表示具有向量值 Cauchy 积分算子的特殊版本。通过对该奇异积分算子进行正则化，得到了伴随 Clark 算子在 Sz.-Nagy--Foias 转录中的表示。在内特征函数的特殊情形（$U$ 的纯奇异谱测度）下，该表示给出了可视为归一化 Cauchy 变换（这是秩一情形 Clark 理论中的一个重要对象）向向量值情形的自然推广。