复平面上椭圆内的 Gegenbauer 及其他平面正交多项式
数学物理
2021-05-13 v2 math.MP
概率论
摘要
我们证明实线上的几类经典正交多项式在带权平面 Lebesgue 测度下于复平面中椭圆内部同样正交。特别地,其包含 Gegenbauer 多项式 C_n^{(1+α)}(z)(α>-1),其中涵盖 Legendre 多项式 P_n(z),以及 Jacobi 多项式的子集 P_n^{(α+1/2,±1/2)}(z)。这些多项式提供一组标准正交基,相应的带权 Bergman 空间构成完备度量空间。这导出了复平面中某类 Selberg 积分。我们重新得到了已知的第一至第四类 Chebyshev 多项式的正交性。极限 α→∞ 回到整个复平面上正交的已知 Hermite 多项式。当椭圆退化为圆时,我们得到了截断酉随机矩阵系综的行列式点过程所已知的权函数与单项式。
引用
@article{arxiv.1905.02397,
title = {Gegenbauer and other planar orthogonal polynomials on an ellipse in the complex plane},
author = {G. Akemann and T. Nagao and I. Parra and G. Vernizzi},
journal= {arXiv preprint arXiv:1905.02397},
year = {2021}
}
备注
37 pages, reference updated and typo corrected