环扩张的伽罗瓦闭包数据

为推广可分域扩张的伽罗瓦闭包概念，我们为交换环 $R\to A$ 的代数设计了 $G$-闭包概念，其中 $A$ 作为 $R$-模局部自由且秩为 $n$，$G$ 是 $\mathrm{S}_n$ 的子群。 $A$ 在 $R$ 上的 $G$-闭包数据是一个满足特定性质的 $R$-代数同态 $\varphi: (A^{\otimes n})^{G}\to R$，并且我们将闭包代数 $A^{\otimes n}\otimes_{(A^{\otimes n})^G} R$ 对应于闭包数据 $\varphi$。若 $G$ 为相应的伽罗瓦群，该构造可重现有限可分域扩张的正规闭包。我们用具有 $R$ 的 \'etale 基本群连续作用的相应有限集，描述了一般连通环 $R$ 上有限 \'etale 代数的 G-闭包数据及代数。我们证明，若 $2$ 可逆，则自由扩张的 $\mathrm{A}_n$-闭包数据对应于判别式的平方根，而四次单生成扩张的 $\mathrm{D}_4$-闭包数据对应于三次预解式的根。