拉格朗日与正交格拉斯曼流形的 Galkin 下界猜想

设 $M$ 为 Fano 流形，$H^\star(M;\mathbb{C})$ 为带有量子乘积 $\star$ 的 $M$ 的量子上同调环。对于 $\sigma \in H^*(M;\mathbb{C})$，记 $[\sigma]$ 为 $H^*(M;\mathbb{C})$ 上的量子乘法算子 $\sigma\star$。几年前曾有猜想 \cite{GGI, GI} 并被证明对许多 Fano 流形成立 \cite{CL1, CH2, LiMiSh, Ke}，包括我们的情形，即算子 $[c_1(M)]$ 有一个实特征值 $\delta_0$，它是 $[c_1(M)]$ 的特征值中最大的。Galkin 的下界猜想 \cite{Ga} 断言，对于 Fano 流形 $M$，有 $\delta_0\geq \mathrm{dim} \ M +1$，且等号成立当且仅当 $M$ 为射影空间 $\mathbb{P}^n$。在本文中，我们证明 Galkin 的下界猜想对拉格朗日与正交格拉斯曼流形成立，等号情形有若干例外。