二次上同调的融合不等式

单纯复形 $G$ 上的经典单纯上同调处理 $G$ 中单形 $x$ 上的函数。二次上同调处理相交的 $G \times G$ 中单形对 $(x,y)$ 上的函数。如果 $K,U$ 是 $G$ 中的一个闭开对，我们在此证明了线性融合不等式的二次版本。除了 $G$ 的二次上同调外，还有五个额外的相互作用上同调群。它们的贝蒂数由相交的单形对 $(x,y)$ 上的函数计算得出。定义由 $X \times X$ 中满足 $x$ 与 $y$ 在 $X$ 中相交的对 $(x,y)$ 计算出的贝蒂向量 $b(X)$，以及由 $X \times Y$ 中满足 $x$ 与 $y$ 在 $K$ 中相交的对 $(x,y)$ 计算出的 $b(X,Y)$。我们证明了连接所有五种可能相互作用情况的上同调群的融合不等式 $b(G) \le b(K)+b(U)+b(K,U)+b(U,K)+b(U,U)$。计数表明对于 $f$ 向量有 $f(G) = f(K)+f(U) + f(K,U)+f(U,K)+f(U,U)$。超计数给出了 Euler-Poincaré 关系 $\sum_k (-1)^k f_k(X)=\sum_k (-1)^k b_k(X)$ 和 $\sum_k (-1)^k f_k(X,Y)=\sum_k (-1)^k b_k(X,Y)$，其中 $X,Y \in \{U,K\}$。与线性情况一样，二次融合不等式的证明也源于所有涉及的拉普拉斯算子 $L(X),L(X,Y)$ 的谱被 $G$ 的二次 Hodge 拉普拉斯算子 $L(G)$ 的谱所控制这一事实。