融合代数、对称多项式、N-群轨道与秩-能级对偶

A. Feingold 与 M. Weiner \cite{FW} 最近利用 $\mathbb{Z}_n^k$ 在 $S_k$ 对 $k$-元组置换作用下的轨道，发展了一种计算 $A_{n-1}$ 型李代数在能级 $k$ 上的融合系数的方法。他们仅得到了 n = 2 和 3 时的融合系数。我们将此方法推广到所有 $n \geq 2$ 与所有 $k \geq 1$。首先我们展示杨图与 $\mathbb{Z}_n ^k$ 的 $S_k$-轨道之间的联系，并利用 Pieri 规则证明该方法对生成融合代数的某些特定权成立。随后我们说明轨道方法在一般情况下并不适用，但借助 Jacobi-Trudi 行列式，我们给出了一种迭代方法来重构所有 A 型融合积。