Furstenberg--S\'{a}rk\"{o}zy 定理与有限域上多项式方程的分配正则性

我们证明了关于有限域大子集上多项式构型的新组合结果。Bergelson--Leibman--McCutcheon (2005) 证明:对于任意多项式 $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ 且 $P(0) = 0$,若 $A \subseteq \mathbb{F}_q$ 是 $q$ 元有限域的子集,且 $A$ 不包含相异的 $a, b$ 使得对某个 $x$ 有 $b - a = P(x)$,则 $|A| = o(q)$。在特征充分大的域中,由 Weil 界可将 $o(q)$ 改进为 $O(q^{1/2})$。我们在低特征情形下匹配了该界,并给出了使 Furstenberg--S\'{a}rk\"{o}zy 定理在固定特征有限域上成立的那类多项式的完整代数刻画。我们的下一个主要结果涉及有限域上 Furstenberg--S\'{a}rk\"{o}zy 定理的增强。Weil 界的另一推论是:若 $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$,$A, B \subseteq \mathbb{F}_q$,且不存在 $a \in A$ 与 $b \in B$ 使得对某个 $x$ 有 $b - a = P(x)$,则 $|A| |B| = O(q)$,前提是 $\mathbb{F}_q$ 的特征充分大(依赖于 $P$)。我们给出了在固定特征域上该非对称增强成立的那族多项式的完整描述,达到了高特征情形下可用的相同定量界。我们在处理上述问题时给出的指数和估计,也使我们能够建立有限域上多项式方程族的分配正则性。作为一个例子,我们证明:若 $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ 且 $P(0) = 0$,则对任意 $r \in \mathbb{N}$,存在 $N = N(P,r)$ 和 $c = c(P,r) > 0$,使得若 $q > N$ 且 $\mathbb{F}_q = \bigcup_{i=1}^r{C_i}$,则方程 $P(x) + P(y) = P(z)$ 至少有 $cq^2$ 个单色解。