闭流形上 Morse 理论的函子性
微分几何
2009-10-12 v2 代数拓扑
摘要
我们发展了 Morse 理论的函子性，即对于一对 Morse-Smale 系统和底层流形之间的一个光滑一般映射，我们关联一个相应 Morse 复形之间的链映射，该映射下降到同调上的正确映射。这种关联通常不保持复合运算。我们给出了保持复合运算的充分条件。作为一个应用，我们提供了一个新的证明，表明在链层级上定义的 Morse 理论中的杯积与奇异上同调中的杯积一致。在附录中，我们给出了一个证明（归功于 Paul Biran），即 Morse-Smale 系统的不稳定流形是底层流形上 CW 结构的开胞腔；我们还证明了三重体的 Morse 复形规范同构于该 CW 结构的胞腔复形。这为 Morse 复形确实是一个复形且能计算流形的同调提供了新的证明。
引用
@article{arxiv.0805.2131,
title = {Functoriality in Morse theory on closed manifolds},
author = {Avraham Aizenbud and Frol Zapolsky},
journal= {arXiv preprint arXiv:0805.2131},
year = {2009}
}
备注
22 pages; added appendices with proofs that (i) the unstable manifolds of a Morse-Smale gradient flow are the open cells of a CW structure on the underlying manifold (due to Paul Biran); (ii) the Morse-Thom-Witten complex is canonically isomorphic to the cellular complex of the above CW structure; various minor corrections