三角李代数背景下非交换变量的$C^\infty$类函数

我们构造了三角实李代数$\mathfrak{g}$的泛包络代数的某个完备化$C^\infty_\mathfrak{g}$。它是一个Fr\'echet-Arens-Michael代数，由多项式增长元素组成，并满足如下泛性质：从$\mathfrak{g}$到所有元素均为多项式增长的实Banach代数的任意李代数同态，都可扩展为以$C^\infty_\mathfrak{g}$为定义域的连续同态。该代数的元素可称为非交换变量的$C^\infty$类函数。证明基于表示论并运用了有序$C^\infty$-函数演算。除一般情形外，我们分析了两个简单例子。作为辅助材料，我们发展了多项式增长代数一般理论的基础。我们还考虑了该完备化的局部变体，并在$\mathfrak{g}$为幂零时得到了$C^\infty_\mathfrak{g}$的Gelfand谱上非交换函数的层。此外，我们讨论了由Dosi引入的非交换变量全纯函数理论，并应用我们的方法证明了一些强化其结果的定理。