满堆与仿射 Kac--Moody 代数的表示

我们给出一种不涉及表示的组合构造，借助某个分配格 ${\Cal B}$ 上的带符号升、降算子，构造了几乎所有无扭仿射 Kac--Moody 代数模去其一维中心后的代数。该格 ${\Cal B}$ 作为 Dynkin 图上“满堆”的理想之集被组合地构造出来，这导向了 Kac--Moody 代数正根的某种范畴化。该格 ${\Cal B}$ 也是 Kashiwara 意义下的晶体，其张成空间提供了相联量子仿射代数与仿射 Weyl 群的表示。对于两个无穷族的有扭仿射 Kac--Moody 代数，有这些结果的类似物，我们希望另文更充分地处理的。通过限制，我们得到了有限维单 Lie 代数在 $\complex$ 上的组合构造，除外类型 $E_8$、$F_4$ 与 $G_2$。对应于 Dynkin 图任意定向的 Chevalley 基随后被升、降算子显式表示。我们还得到了 $B$ 与 $D$ 型 Lie 代数自旋模的组合构造，避免了 Clifford 代数，其中 Chevalley 基在模的正则基上的作用可被显式计算。