有限域上三次置换有理函数与完全有理函数的完全分类

设 $q$ 为素数幂，$\mathbb F_q$ 为 $q$ 阶有限域，$\mathbb F_q(x)$ 为 $\mathbb F_q$ 上的有理函数域。本文分类了所有次数 3 且诱导 $\mathbb P^1(\mathbb F_q)$ 置换的有理函数 $\varphi\in \mathbb F_q(x)$。我们的方法是构造性的且分类是显式的：我们利用伽罗瓦理论方法以及全局函数域上的切博塔廖夫密度定理，给出了有理函数系数的方程。作为一个推论，我们得到三次置换有理函数置换 $\mathbb F_q$ 当且仅当它置换其无穷多个扩张域。作为另一推论，我们导出了著名的三次置换多项式分类。作为我们分类的结果，我们也能证明除非 $3\mid q$ 且 $\varphi$ 为多项式，否则不存在三次完全置换有理函数。