二面体群的 Fuchs 问题

五十多年前，Laszlo Fuchs 提出了哪些阿贝尔群可以成为环的单位群这一问题。尽管已取得一些进展，该问题仍未解决。同样地，我们也可以对各类非阿贝尔群提出这一问题。在本文中，我们证明：$D_2$、$D_4$、$D_6$、$D_8$ 和 $D_{12}$ 是仅有的能作为正特征环（或等价地，有限环）的单位群出现的二面体群，而 $D_2$ 和 $D_{4k}$（其中 $k$ 为奇数）是仅有的能作为特征 0 环的单位群出现的二面体群。