从乘积希尔伯特空间到广义库普曼算子与非线性基本引理
最优化与控制
2026-03-25 v2 人工智能
摘要
将库普曼算子推广到带控制输入的系统以及推导非线性基本引理，是发展数据驱动非线性系统控制方法的两个关键开放问题。在本文中，我们基于乘积希尔伯特空间中的基函数展开，为该问题推导了一种新颖的解决方案。该乘积空间由状态和输入可观测函数的希尔伯特空间通过张量积构造而成。我们识别出了松弛的不变性条件，这些条件保证了从构造的乘积希尔伯特空间到对应于向前传播的升维状态的希尔伯特空间存在一个有界线性算子，即广义库普曼算子。与经典的库普曼不变性条件相比，该条件不需要测度保持。此外，我们通过利用构造的精确无限维双线性库普曼表示和汉克尔算子，推导出了一个非线性基本引理。所开发的广义库普曼嵌入的有效性在范德波尔振荡器和软体机器人操作器模型的预测控制中得到了验证。
引用
@article{arxiv.2508.07494,
title = {From Product Hilbert Spaces to the Generalized Koopman Operator and the Nonlinear Fundamental Lemma},
author = {Mircea Lazar},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.07494},
year = {2026}
}
备注
Revisions compared to first version: formal analysis of the generalized Koopman composition operator, exact bilinear form with finite-dimensional input Hilbert space for input-affine systems, quantitative persistency of excitation notion for infinite-dimensional bilinear systems, nonlinear fundamental lemma in terms of Hankel operators and frames, addition soft-robotic manipulator example