从矩阵模型的拓扑展开到拓扑弦理论：用代数几何对曲面进行计数

2-矩阵模型最初被引入用于研究随机曲面上的Ising模型。此后，矩阵模型与离散曲面组合学之间的联系变得极为紧密。本文旨在研究这些深层联系，并跟随本人研究工作的进展将其推广至矩阵模型之外。首先，我谨慎地定义了厄米2-矩阵模型，该模型生成了配备自旋结构的离散曲面的生成函数。然后，我展示了如何利用代数几何工具计算任意可观测量的拓扑展开中的所有项。它们作为与模型相关的代数曲线（即谱曲线）上的微分形式获得。在第二部分中，我展示了如何在任意代数曲线上定义此类微分，即使该曲线并非来自矩阵模型。随后我研究了它们在代数曲线形变下的众多对称性质。特别地，我证明了如果代数曲线是该模型的谱曲线，则这些对象与矩阵模型可观测量的拓扑展开相一致。最后，我表明对参数进行精细调节可确保这些对象能被提升为模不变量，并满足Kodaira-Spencer理论的全纯反常方程。这为Dijkgraaf-Vafa猜想的正确性提供了新的线索。