从均匀化到细胞流中的平均化

我们考虑一个具有快速细胞流（振幅为$A$）的椭圆特征值问题，定义域为包含$L^2$个细胞的二维区域。对于固定的$A$且$L \to \infty$，该问题被均匀化，且已得到充分研究。同样被充分研究的还有$L$固定且$A \to \infty$的极限情况。在这种情况下，解沿流线达到平衡。在本文中，我们证明如果$A \to \infty$和$L \to \infty$同时发生，则均匀化与平均化机制之间的转变发生在$A \approx L^4$处。当$A\gg L^4$时，主Dirichlet特征值近似为常数。另一方面，当$A\ll L^4$时，主特征值的行为类似于${\bar \sigma(A)}/L^2$，其中$\bar \sigma(A) \approx \sqrt{A} I$是有效扩散矩阵。在退出时间问题的解中也观察到类似的转变。均匀化机制中的证明涉及对第二修正项的界。神奇的是，如果慢变剖面是二次的，则这些估计可以通过使用与漂移无关的$L^p \to L^\infty$估计（针对具有不可压缩漂移的椭圆方程）来获得。这为我们的问题提供了有效的下解和上解。