从双规范基到POSITROIDAL分割

Grassmannian cluster代数 $\mathbb{C}[\text{Gr}(k, n)]$ 容纳一种被称为双规范基的著名基，其元素对应于具有k行且条目在[n]内的矩形半标准Young图案。我们证明，每种此类图案通过Speyer和Williams引入的映射诱导出 hypersimplex $\Delta(k,n)$ 的一个 positroidal分割。对于 $\text{Gr}(2,n)$，我们证明非冻结素图案恰好对应于 $\Delta(2,n)$ 的最粗positroidal分割。此外，我们提出了对 $k>2$ 的计算证据，扩展了这些结果。在此过程中，我们提出了一个关于 $\Delta(k,n)$ 的任何 $k \ge 2$ 的split positroidal分割数量的 conjectural 公式，并探讨了 hypersimplex $\Delta(k,n)$ 的多面体组合学与 $\mathbb{C}[\text{Gr}(k, n)]$ 双规范基之间的深刻联系。